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圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?

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樓主
online_member 發表于 昨天 21:23 | 只看該作者 |只看大圖 回帖獎勵 |倒序瀏覽 |閱讀模式
由卡爾·薩根的科幻小說《接觸》里面的一個科幻點子想到的: π,是一個無限不循環的超越數。從一個中心點開始,在平面上用一個固定的長度為半徑繞行一周,圓周長與直徑之比就是圓周率 π,通過簡單的迭代算術式 [公式] 計算,或是微積分公式,可以很容易地計算出這個常量,并把它計算到無窮位上。無論是從幾何上講,還是從數學上說,這個 π 都是宇宙的一個常量,它是宇宙空間本身的一個性質,也是數學…
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online_member 發表于 昨天 21:24 | 只看該作者
圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?65 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916  還是太naive了。我要是宇宙設計者,我就把信息藏在蔡廷常數里,這才是對人類最大的嘲諷。
蔡廷常數,其含義是找隨機生成一段程序,這段程序不會陷入死循環的概率。可以證明這是一個確定存在的無理數,但是同樣可以證明它是不可以被計算出來的。
實際上,能被計算出來的實數的集合是可數無窮的,所以說不能被計算出來的實數是可以計算出來的實數的無窮多倍。像 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?73 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 這種能計算出其中任意一位的實數是少之又少的。
而蔡廷常數屬于不可被計算的實數中特殊的一類數,它不僅不能計算,而且除了知道它小于1大于0以外,就連它在小數點后任意一位,包括第一位,都是可以從理論上證明是無法計算出來的【注:此處不嚴謹,文末有說明】。
但是呢,這個數又被證明是確實存在的一個常數。所以,我,造物主,把宇宙的秘密藏在這個數里面,我明確的告訴你們人類這一點,而你們卻無可奈何。
當然,碰巧我現在心情很好,所以我大發慈悲的告訴你們,我寫在蔡廷常數里面的那句話就是:你們都是蟲子


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ps:  圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?39 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916  是否是正規數,和它是否被編碼了沒有關系啊


圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?28 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916的特殊性:
圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?16 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 是個特殊的數,不僅在于其是周長與直徑之比,如果這么定義的話,在一些非歐幾何中,圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?35 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 都不是常量,現在數學中使用的 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?23 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 的定義也已經脫離了其幾何含義,而將其視為微分方程中的一個常量(回想下歐拉的那個上帝公式)


圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?36 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 編碼的可能性:
圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?70 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916是不是高票答案提到的正規數,和 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?79 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916是否被特殊編碼了沒有關系,即使知道它是正規數,但是小說中提到的小數點后10^60 位突然出現大段的規律性編碼(假設有的話),絕對是異常中的異常,因為一段長度為1000的異常編碼,其期望出現的位置也應該在10^1000位之后,是窮盡整個宇宙的能量都算不出來的。
(但是!但是!因為 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?16 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 是一個純粹數學推理出來的產物,要能對 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?56 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916編碼,說明造物主能夠任意控制這個世界的邏輯本身!這是多么難以想象的存在!)
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更新3:
這是第三次更新,因為看到評論區的留言,發現大家對蔡廷常數比較感興趣,因此趁著端午佳節,來介紹一下為什么會存在不可計算的實數、蔡廷常數的歷史淵源以及其重要意義。當然,這個內容就是純粹的偏題了,若是你恰好有活動一下腦細胞的閑情雅致,則不妨慢慢看下去:
在ZFC公理體系下,實數可以分為以下幾類:
    存在但是不能被準確描述和定義的能被準確的描述和定義,但是不能被計算出來的能被計算出來的
其中第1類的數量是后兩類的無窮多倍。蔡廷常數屬于第2類。 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?19 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 屬于第3類。
希爾伯特在聽說上面這個結論的時候,一定會回想起他在1900年向世界所有數學家提出直擊數學家靈魂的希爾伯特23問的那個遙遠的下午。
在工業革命之后,自然科學飛速發展,當物理學家高興的宣布物理大廈已經建成,除了兩朵烏云外晴空萬里之時,數學家的世界則愁云慘淡:那些令人束手無策的難題不僅沒變少,反而越來越多。當此之時,希爾伯特向全世界數學家提出了當時尚未解決但是他認為非常重要的23個問題:
其中第二個問題就是:證明算術公理的自洽性(consistency)。所謂自洽性,即一個公理體系內不應該存在矛盾,即不能存在一個命題,既能被證明又能被證偽。
第十個問題是:找到一個通用的算法,能解決所有的丟番圖問題。
可以看出,雖然面臨許多難題,當時的數學家還是天真的相信,一切的問題都是可以解決的,只是我們目前太弱而已。只要我們足夠努力,在嚴格的定義和推導之下(公理化體系的建立,)我們終將可以提出一個完美的公理體系。而更樂觀的數學家則相信,可以找到一個通用的算法,所有的命題都可以用這個算法來一步步的證明和證偽。
可惜這個美好愿景只是海市蜃樓,30年后,哥德爾提出了其不完備性理論打碎了數學家們的美夢:
    任何一個復雜到包含了算數公理(即自然數)的公理體系,如果它是自洽的,則必然不是完備的,即必然存在一些命題,在此公理體系內部既不能被證明,又不能被證偽。任何一個復雜到包含了算數公理(即自然數)的公理體系,其自洽性不能在該公理體系內部證明
同時圖靈也提出了通用的計算模型——現代計算機的理論基礎——圖靈機。圖靈機上有一個很重要的問題是停機問題,因為很多數學定理的證明可以歸約為停機問題。
那什么是停機問題呢?停機問題是說,是否存在一個算法,對于任意一個給定的程序和輸入,該算法可以判斷這個程序對于這個輸入的運行是否會在有限時間內終止。通俗的說就是,你在電腦上運行一個程序,然后去判斷這個程序會不會陷入死循環永遠停不下來。
假如我們找到了解決停機問題的方法,那么幾乎所有的數學問題都可以用這個方法求解了。也就是說,這些數學問題都可以歸約到停機問題上。舉個例子,著名的哥德巴赫猜想:任一大于2的偶數都可寫成兩個質數之和。我們可以構造一個程序,這個程序會從小到大的依次對每個偶數去計算它是否可以寫成兩個質數的和,如果不可以,則程序退出,如果可以,則繼續去枚舉下一個偶數。顯然,哥德巴赫猜想成立當且僅當這個程序永遠不會停止。
很可惜的是,圖靈證明了,停機問題是不可計算的。停機問題的不可計算性存在一個很容易看懂的不很嚴謹的版本,在此簡要證明如下(當然你也可以先跳過這個部分,因為雖然簡單,不需要任何專業知識也能看懂,但是運氣不好的話在這里卡上一個小時也是不出人意料的):
用矛盾法證明:
假設存在一個程序 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?96 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 可以對于任何一個程序 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?6 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 判斷其能否停機。那么我可以構造一個 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?10 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 ,將程序 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?69 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 作為程序 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?99 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 的子程序調用:
  1. 如果H(f)返回的結果是停機:
  2.     進入死循環,永遠不停機
  3. 否則:
  4.     停機
復制代碼
可以看到,此時無論程序 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?3 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916的返回結果是停機還是不停機,都會導致矛盾。所以不存在能解決停機問題的通用程序。
證畢
如果你跳過了上述證明,你可以從這里開始看起:
實際上,可以進一步證明,不可計算的問題是可計算問題的無窮多倍。
不過需要特別說明的是,這里說的不可計算和我們通常理解的不可計算不是一個概念,可以說,這里討論的不可計算比我們理解的不可計算“更加”不可計算。舉個例子:
我們定義一個自然數X等于哥德巴赫猜想的真值,也就是說,如果哥德巴赫猜想為真,則X等于1,如果為假則X等于0。你可能會認為,如果能證明哥德巴赫猜想屬于上面提到的既不能被證明也不能被證偽的命題,那么X就是不能被計算的了。這個想法是不對的。這里討論的可計算性是,存在一個圖靈機(或者說存在一個算法),能輸出X的值,那么X就是可以計算的。顯然,存在一個可以輸出0的圖靈機,同時存在一個可以輸出1的圖靈機,所以X必定可以被其中1個圖靈機計算,只是我們不知道具體是哪個圖靈機而已。
而我們所要討論的不可計算的實數,則是說,不存在任何一個已知或未知的圖靈機(或者說算法),能輸出它的值。
ok,如果你一路辛勤的閱讀至此,那么恭喜你,你已經完成了理解蔡廷的常數所需要的鋪墊了,在此基礎上,我們來看一個蔡廷常數的簡單版例子:
首先,我們來把所有程序依次編號為1,2,3,4...,然后我們來定義一個實數X如下:X是一個大于0小于1的實數,用二進制表示,其小數點第i位等于1僅當第i個程序能在有限步內停機,否則等于0。
這也就是說,X的小數點后第i位的數字,對應了第i個停機問題的答案。用柯西序列可以證明這個實數是良定義的。如果我們能計算出X的值,那么數學的天空就會一片晴朗,因為非常多的數學問題都可以像上述的哥德巴赫猜想問題一樣歸約為某一個停機問題,面臨這樣的問題時,我們只需要查一下X的值就可以找到答案。X這個數字是如此神奇,以至于我懷疑當年Borel提出這個數字時他自己也在懷疑其可計算性吧。當然后來的事情我們都知道了,圖靈證明了不存在一個算法能解決所有停機問題,而能計算出這個數字就等于能解決了所有停機問題,所以可以反證出不存在一個算法能計算出這個數字。
在計算理論里面,有一個衡量一個數字的信息量的指標叫做Kolmogorove Complexity,其含義是算出這個數字所需要的最短的程序(或者說算法)的長度。很顯然,所有的有理數的信息量都是有限的,所有的代數無理數的信息量也是有限的,而對于超越數來說,存在像 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?15 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 這樣的數字,其信息量也是很少的,因為可以用一個很短的程序就可以做到輸出 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?57 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 的任意一位。但是,大多數超越數的信息量是無窮,例如上面提到的X。這意味著不存在任何一個有限長的算法可以計算出它的值。
看到這里,較真的讀者可能會表示懷疑,這個X真的存在嗎?上面的定義真的能準確無誤的定義出一個實數嗎?這個疑問是合理的,比如我用 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?9 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 來定義的y就不是實數而是復數,或者是,如果我定義y為第一個大于2且不能被寫作兩個質數的和的正整數,這個正整數存在的前提是哥德巴赫猜想為假,如果哥德巴赫猜想為真或不能證明其真假,則這個數字不是良定義的。因此,下面簡要說明一下為什么上文提到的X是良定義的實數:
首先讀者要有心理準備,無理數之所以是無理數,是因為它看起來的確不講道理,讓人難以理解,因此對此不感興趣的讀者可以直接跳過這一節。ok,廢話不多說,正式開始介紹:
在我們討論實數時,需要對什么是實數達成共識。實數的定義有很多種,每種都不是那么直觀,在此我準備用柯西序列(學過高數的人肯定有印象)來構造實數。柯西序列是指這樣一個無窮長的數列,它的元素隨著序數的增加而愈發靠近。更確切地說,在去掉有限個元素后,可以使得余下的元素中任何兩點間的距離的最大值不超過任意給定的正數。例如下圖就是一個例子:
圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?75 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 通過上圖可以直觀的看到,柯西序列最后會慢慢慢慢的越來越接近一個數字,無窮的接近一個數字,這時我們說,柯西序列收斂到了一個特定的數字。
對于柯西序列正式的定義是,對于有理數序列 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?63 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 ,對于任意一個確定的 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?71 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 ,總是存在一個正整數 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?52 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 ,使得對于任意的正整數 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?68 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 ,如果 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?40 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 均大于 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?2 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 ,則必有 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?90 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916
用有理數構造實數的方法,就是定義一個柯西序列,柯西序列每一個點都是有理數,但是最后卻會收斂到一個實數上。
一個典型的例子是0.618....的那個黃金分割比,用柯西序列來定義就是: 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?64 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 ,其中 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?99 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 表示斐波那契數列的第n項。可以解得這個柯西序列收斂到 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?73 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916
(以上柯西序列的定義摘自維基百科:
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9F%AF%E8%A5%BF%E5%BA%8F%E5%88%97)


柯西序列是可以相加減的,兩個柯西序列相加得到的新的柯西序列的第i個數字就等于原柯西序列的第i個數字的相加和。減法乘法同理。
用這個原理可以很容易證明1和0.99999999........這兩個數字是相等的。
我們首先寫出1的柯西序列:
1 1 1 1 1 1  ....
然后寫出0.99999.....的柯西序列:
0.9 0.99 0.999 0.9999 .......
然后用前者減去后者可得:
0.1 0.01 0.001 0.0001 ......
可以看到新得到的柯西序列是收斂到0的,因此1和0.99999999........這兩個數字是相等的。
好,了解了如何用柯西序列來定義實數,我們就可以開始證明Borel的X是實數了。
首先我們定義 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?35 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 對應的數列的第 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?77 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?36 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 為一個二進制下 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?94 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 位的有理數,其構造方式如下:將 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?65 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 的前 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?50 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 位對應的總共 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?14 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 個程序都拿出來,對于每個程序,我們執行 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?12 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 步,如果第 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?31 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 個程序在前 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?58 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 步內終止了,則令 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?15 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 的第 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?19 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 位為1,否則為0.
現在我們來證明上面的確定義了一個柯西序列:不失一般性的,令 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?52 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 ,其中 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?93 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 是正整數,則定義整數 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?68 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 為前 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?33 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 個程序中,最終會停機的那些程序里面,最長的到達停機狀態的步數。換言之,必然存在一個正整數圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?31 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916,使得對于前 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?66 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 個程序中的任意一個最終會停機的程序,在執行圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?66 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916步之后,都會停機。令 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?21 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 表示取 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?66 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 的前 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?13 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 位得到的有理數,可以看到,對于任何的 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?77 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 ,都有 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?22 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 ,又由于 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?98 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 ,所以這是一個柯西序列
所以 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?52 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 是一個良定義的實數,證畢


細心的讀者可能會發現,用上面定義柯西序列的方法不就可以求解出圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?29 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916了嗎,這那為啥還說它是不可計算的?這不是矛盾了嗎?
問的好。用上面的方法的確可以保證得到圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?46 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916的任意多位的值,但是,如果真的用上面的流程來計算圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?14 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916的話,我們永遠沒有辦法知道什么時候自己手里的答案是正確的,而只能知道從某個時刻開始我們手里的答案就一直是正確的。
這么說可能比較抽象,舉個例子就清楚了,例如我給你一個箱子,里面裝了無數個球,每個球有個編號,編號是從1開始的自然數,我告訴你里面有3紅球,剩下的都是白球,你每次可以從中拿出一個你指定的編號的球,請你設計算法找出3個紅球。此時你的做法可以很簡單:你就依次取出第1個球,第2個球,第3個球。。。直到你取出了3個紅球為止。假設三個紅球中編號最大的為W,你雖然不知道W是多少,但是你知道你的算法最后一定會在有限步內終止。
而假如同樣的例子里,我告訴你里面最多有4個紅球,但是不告訴你確切有幾個,請你找出里面的全部紅球。此時你就無能為力了,你可以一直找下去,直到找到4個紅球,你就可以確定完成任務了,但是如果假設總共只有3個紅球,那你就只能永遠的找下去了,盡管你知道必定存在一個有限的時刻,在這個時刻之后你已經拿到了所有紅球,但你永遠也不知道你自己當前是在這個時刻之前還是之后。
圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?75 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 這樣可以用有理數從數軸左側無限逼近的數,叫做left enumerable computable real number(left c.e. real),同理,那些可以用有理數從數軸右側無限逼近的數,叫做right c.e. real。很顯然,如果一個數既是left c.e. real也是right c.e. real,那么我們可以用上面類似的辦法從數軸兩邊同時逼近它,從而求出它的任何一位來。但可惜的是,用上面的方法只能從左邊去逼近 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?15 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 ,我們沒法辦法去逼近 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?80 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 的上界。


如果你跳過了上述證明,你可以從這里開始看起:
另外一個值得注意的點是,圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?5 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916的取值是取決于我們對停機問題的排序的,例如我們可以把哥德巴赫猜想程序排在第2個位置,也可以排在第1000個位置。不同的排序對應了不同的圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?40 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916。所以準確的說圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?24 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916是一類數,只有當排序確定后,圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?18 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916才成為一個確定的數。而由于排序方法有無數種,所以從這里也可以看出,不可計算的數也有無窮多。


不過,雖然圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?53 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916整體不可計算,但是其中的某些位還是可以確定的,例如,假設其第1位對應的問題是是否存在一個完全平方數,那么顯然經過簡單計算即可知道這一位的取值是1。而蔡廷常數就不一樣了,存在一些蔡廷常數,不僅其整體不能被計算,其任何一位都不能確定。其原因在于,圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?88 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916的前n位儲存了n個停機問題的解,而蔡廷常數的前n位儲存了大約為 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?65 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 個停機問題的解,其任何一位數字的確定都依賴于多個停機問題的解的共同作用,而用某些巧妙的方法,可以構造出這樣的蔡廷常數(還記得之前說過圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?33 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916的值依賴于對停機問題具體的排序嗎),使得其每一位對應的停機問題中,至少有一個停機問題對應的問題是既無法被證明又無法被證偽的。
因此存在很多蔡廷常數,其每一位的值我們都不能確定!
關于這個巧妙構造的方法,因為過于復雜,在此不展開討論,只是說下為什么蔡廷常數能做到前n位儲存大約圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?83 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 個停機問題的解。因為蔡廷常數本身的定義比較復雜,涉及到樹的概念(數學上的樹,是一個數據結構,和生活中的數不同),所以在此先不作討論,而給出我自己定義的一個yo常數,但是道理是類似的。
我們的yo常數是基于之前討論的 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?32 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 來定義的,我們的目標是把信息量壓縮到圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?43 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?63 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 ,即用6位數字來儲存63個停機問題的解。對于每63個停機問題,我們將其化為一組,前63個問題對應了yo常數的前6位,64到126個問題對應的是yo常數的第7到12位,以此類推。
對于每組數字的值我們這么定義:其對應的63個停機問題中,假設有x個問題是可以停機的,則該組數字對應的值等于x。顯然 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?51 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 。而0到63 在二進制下是可以用6位數字來編碼的。所以x最大等于二進制下的111111
顯然,可以用同圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?8 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916類似的方法證明yo常數也是一個良定義的實數。下面要說明的是為什么yo常數是不可計算的。我們通過證明yo常數可以解決所有停機問題來反證:
假設我們知道yo常數的值,那么對于任意一個停機問題,我們首先找到它對應的那一組數的位置,假設該數為 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?71 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 ,則表示其對應的63個停機問題中有 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?81 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 個是可以停機。于是我們同時運行這64個程序,直到出現 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?64 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 個停機的程序,此時我們看我們要求的停機問題在不在這 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?12 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 個程序里面即可。
證畢。


當然,蔡廷常數比我這個yo常數更厲害,因為它對信息的壓縮率要高的多的多。講了這么久,終于可以正式的引出我們今天的主角了。但在此之前要說明的是,其實接下來的內容不用看你也已經大致了解蔡廷常數大概是什么東西了,下面的說明無非是些具體的細節問題,不是那么重要。但是,即使有了上面那么長的鋪墊,這些細節依然理解起來很有難度,所以如果你沒有計算機或者數學本科背景的話,恭喜你,你已經閱讀完了本篇回答了(真誠臉,相信我)。


后記:
本來只是想抖個機靈,但是看到評論區對蔡廷常數很感興趣,因此寫下了這個補充說明,開始寫的時候旁邊的人還在看世界杯,寫完發現天已經亮了。我統計了下,這個回答總共7600字,相當于一篇論文了。講道理除了之前的一篇介紹福特定理的回答外,我在知乎上再沒有這么長的文章了,但我也深知,即使寫了這么多,由于蔡廷常數涉及的前置知識確實比較難,以及我自己的文筆和水平有限,因此這樣的介紹對于缺少背景知識的人來說只能是走馬觀花,在此表示道歉。
但盡管知道如此,我依然寫出來了,因為我覺得這世上應該會有不少人和當年的我一樣,對人類的認知感興趣吧。如果你認真閱讀后依然有疑惑,可以在評論區提問,我會盡量解答的。
如果你對可計算理論感興趣,想進一步了解,但是又不是專業人士,我在此推薦一本書,叫做《哥德爾、艾舍爾、巴赫——集異璧之大成》,這本書是從科普、藝術和哲學的角度來深入淺出的講可計算理論的,里面會從芝諾悖論開始,一步一步的帶領讀者走向“無窮”這個普通人最難理解的概念。但由于是科普書,我看了頭幾章覺得太過于科普所以沒看下去,但是我的印象是,作者要實現的目標是,對于一般人來說,里面所有的內容都是雖然很燒腦但是幾乎沒有前置知識只要用力就肯定可以看下去的。
后記完





蔡廷常數
首先根據蔡廷常數的定義可知,其數值是和語言相關的。例如c語言對應了一個蔡廷常數,java又對應了一個蔡廷常數。嚴格來說,蔡廷常數定義在一個圖靈完備的語言上,且要求該語言不存在一個語句是另一個語句的前綴。設該語言的集合為 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?54 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 ,則蔡廷常數的定義如下:
圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?14 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 其中 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?45 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 表示語句P的長度。可以證明該求和收斂,且大于0小于1.
由上述定義可知,蔡廷常數的前幾位并不比后幾位更加重要,所以說,只知道小數點后1到10位的值,和只知道小數點后第1000到1010位的值,沒有什么差別。所以對于蔡廷常數來說,討論近似值是沒有意義的
蔡廷常數精確定義了一個實數這一點的證明方法和上文相同,在此不贅述。只特別說明一點,雖然乍一看這個求和得到的值可能大于1,但是要注意到定義里有一個前提條件,即不存在一個語句是另一個語句的前綴,根據Kraft-McMillan inequality,可證在這個前提下上述求和得到值不會超過1。
下面說明為什么蔡廷常數是不可計算的。同樣此處用其可解決通用停機問題來反證,由于這個證明比較抽象,所以這里只給出簡要說明:
假如我們需要求解某個程序能否停止,例如上文提到的哥德巴赫猜想程序,假設該程序長度為L。再假設我們求出了蔡廷常數為C。則我們可以用如下算法求得哥德巴赫猜想程序能否停止:
首先初始時令S等于一個空集,令實數 圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?46 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916 等于0。
從第1步開始,每一步執行如下操作:
       對于第i步,首先我們將所有長度小于等于i的程序加入集合S。然后對于S中的每一個尚未終止的程序都運行K步(K可為任意正整數)。在這個過程中,可能會有一些之前尚未終止的程序在這一步終止,對于每一個這樣的程序,假設其長度為|p|,則令圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?35 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916
隨著上述步驟的不斷執行,一定會在有限步內出現如下兩種情況之一:
情況1:我們要求解的哥德巴赫猜想程序在第L步被加入了集合S,并在之后的某一步終止。由此可知,該程序會終止,哥德巴赫猜想錯誤
情況2:哥德巴赫猜想程序一直沒有終止,但是圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?86 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916不斷增大,直到在某一時刻圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?50 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916
,由蔡廷常數的定義可知圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?45 / 作者:飄渺九月 / 帖子ID:55996,219916是不可能大于C的,因此哥德巴赫猜想程序一定不會終止,哥德巴赫猜想由此得證
有上述算法可知,如果求出蔡廷常數,則可以求解停機問題,但停機問題又是不可解的,由此推出了矛盾。
板凳
online_member 發表于 昨天 21:24 | 只看該作者
圓周率很可能是一個正規數。
盡管目前還沒有嚴格的數學證明或證偽,但目前已經把圓周率算到了小數點千萬億位以后,發現圓周率依然符合正規數的統計行為,很多數學家也認為圓周率是正規數的可能性很大。
如果圓周率確實是一個正規數,那就意味著在它的小數點后面,你可以找到任意一串有限的數字。
不信你可以試試輸入自己的8位數生日,基本上都能在小數點后十億位內找到(更長的數字可能會超出十億位的檢索范圍):
查詢數字在圓周率中的位置把這些數字進行相應的轉碼,你就能找到任何你能想到的信息。包括你的出生年月、隔壁老王的銀行卡密碼、蒼老師的動作片全集、莎士比亞寫的《哈姆雷特》......
也就是說,只要你把圓周率算到小數點后足夠長,以下這些話都可以在圓周率中找到:
神說,要有光,就有了光。AMEM!!
RAMEN!!!
安拉胡阿克巴!!!
天地渾沌如雞子,盤古生其中。
天地不仁,以萬物為芻狗。
God is a girl, whatever you say.
消滅人類暴政,世界屬于三體。
宇宙的終極答案是42。
圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?
我當初就隨便調用了一個random函數,你們人類真是腦洞清奇。
啊啊啊啊啊,啊啊啊啊啊,啊啊啊啊啊,啊啊啊啊唉。
......
難道以上都是造物主留下的隱藏信息?
喂喂,造物主你能不能先串好臺詞,不要前后矛盾啊。
補充幾點評論區問的比頻繁的問題:
    并非所有無理數都滿足上述特性。例如0.101001000100001000001......中就找不任何除0和1以外的數字。限于計算能力,上面貼的網站只檢索圓周率小數點后10億位,太長的數字串可能檢索不到(身份證號就不要試了),但并不意味著不存在。重復檢索同一數字串,會順序顯示它在小數點后第一、二、三......次出現時的位置。既然圓周率包含所有有限數字組合,那么我們在傳達數字時,引用該數字在圓周率后的位置豈不是更高效?其實并不是。因為位置也是需要用數字表示的,表述位置需要的信息可能比直接表述數字更復雜。例如:123456這個數在圓周率后第2458885位出現,位置信息含7位數,反而比6位的原數字更復雜。
最后安利一下自己的干貨回答收藏夾:
干貨科普
地板
online_member 發表于 昨天 21:25 | 只看該作者
用離散的數字表示連續的空間而已
5#
online_member 發表于 昨天 21:25 | 只看該作者
不是,圓周率圓周率 π 是否隱藏了本個宇宙的設計者留給這個宇宙的智慧文明的某種信息?61 / 作者:成哥337 / 帖子ID:55996,219935是高級文明用來誘騙低級文明,讓他們誤以為其中有什么特別信息,結果把精力浪費進去而一無所獲的小伎倆之一
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